4.1 Вязкость жидкостей и вискозиметрия как метод характеристики коллоидных систем и растворов полимеров
4.1.1. Вязкость жидкостей

Вязкой называют жидкость, в которой между отдельными частицами (молекулами) существуют такие силы притяжения, которые при перемещении одной части жидкости относительно другой сдерживают движение слоев. Очевидно, что все жидкости должны быть вязкими, так как между реальными молекулами всегда существуют силы не только притяжения, но и отталкивания. Равновесие между этими силами и обусловливает равновесное состояние жидкости. Если один из слоев жидкости вывести из состояния равновесия и перемещать его с некоторой скоростью относительно другого, то силы притяжения частиц будут тормозить это движение.

При теоретическом описании вязкости жидкость рассматри­вают как непрерывную бесструктурную среду. В равновесном состоянии частицы (молекулы) будут располагаться таким образом, что равновесная сила (разность между силами притяжения и отталкивания) равна нулю. Если это не соблюдается, то молекулы будут перемещаться относительно друг друга до тех пор, пока вновь не наступит состояние равновесия. Если под действием какой-либо силы жидкость привести в движение (как показано на рис. 2.26) таким образом, что один из слоев, например АB, будет перемещаться с ускорением dU по отношению к слою MN, то между слоями возникнет сила трения, стремящаяся выравнять скорости движения слоев АВ и MN и вернуть их в состояние равновесия. Можно ожидать, что сила трения F_f прямо пропорциональна относительной скорости движения dU и площади контакта слоев dA и обратно пропорциональна расстоянию между слоями dx (между центрами движущихся слоев).

Тогда

F_f= hdА dU/dx (2.4.1)

или

F_f /dA = P = hdU/dх, (2.4.1,а)

где Р– напряжение течения, h– коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости или вязкостью,dU/dx– градиент скорости течения.

Уравнение (2.4.1) было получено Ньютоном в 1687 г. Вязкость при ламинарном течении является функцией исключительно сил межмолекулярного взаимодействия в жидкости, поэтому может служить характеристикой интенсивности этих сил и зависит от температуры.

По физическому смыслу вязкость соответствует силе (выраженной в ньютонах) при площади контакта слоев dA (1 м²) и градиенте скорости (1 м/с) в системе СИ имеет размерность h = [Па×с]. В честь ученого Пуазейля, который посвятил много работ изучению вязкости и предложил метод ее измерения, часто используется единица, называемая «пуаз» 1П = 0,1 Па×с. Жидкости, подчиняющиеся при течении закону Ньютона называют ньютоновскими, или нормальными.

Из уравнения (2.4.1) вытекают два следствия:

1. При течении жидкости вдоль неподвижной стенки, прилегающий к ней, слой должен иметь наименьшую скорость течения, так как молекулы жидкости притягиваются к твердой поверхности. По мере удаления слоев жидкости от твердой стенки скорость течения будет увеличиваться. Максимальная скорость будет у слоя жидкости, наиболее удаленного от твердой стенки. Поэтому при течении жидкости в ее объеме повсюду имеется градиент скорости. Во всем объеме жидкости коэффициент вязкости будет одинаковым и лишь при перемещении слоя, прилегающего непосредственно к твердой стенке, коэффициент трения будет характеризовать межмолекулярное взаимодействие молекул жидкости и твердого тела, из которого сделана стенка. Эта сила при достаточном объеме жидкости обычно пренебрежимо мала.

2. Если рассматривать не движение жидкости относительно неподвижной стенки, а движение твердой частицы через стационарную жидкость, то картина будет такой: слой жидкости, прилегающей непосредственно к твердой частице, будет перемещаться с той же скоростью, что и частица. По мере удаления от поверхности частицы слои жидкости будут перемещаться со все меньшей скоростью. Жидкость должна двигаться вместе с частицей и общая сила трения будет складываться в основном из сил трения слоев жидкости друг о друга, а силой трения жидкости о частицу можно пренебречь.

В 1842 г. Пуазейль вывел уравнение, связывающее вязкость жидкости со скоростью ее истечения через капилляр из какого-либо сосуда. Схема капилляра показана на рис. 2.27. Если течение жидкости происходит под давлением Р, то жидкость движется ускоренно до тех пор, пока силы трения не уравновесят это давление. Такое течение носит название стационарного. По мере удаления от стенки капилляра скорость течения будет увеличиваться и достигнет наибольшего значения в его центре, а возле стенок - будет равна нулю. В промежуточных точках скорость будет зависеть только от расстояния до центра. Считается, что в стационарном режиме градиент скорости течения будет неизменным. Следовательно, через любое поперечное сечение капилляра должен всегда проходить один и тот же объем жидкости.

Рассмотрим элемент объема, заключенный между концентрическими цилиндрами, как показано на рис. 2.27. Радиусы цилиндров различаются на малую величину dr. Один цилиндр отстоит от центра капилляра на расстояние r, а другой r+dr. Элемент объема проходит вдоль всего капилляра длиной l. При ламинарном (пластинчатом) режиме течения этот элемент объема жидкости в капилляре не смешивается с другими. Площадь его соприкосно­вения с внутренним элементом объема составляет 2rl, а с наружным 2l(r+dr). Жидкость во внешнем элементе объема движется медленнее, а во внутреннем – быстрее выделенного нами элемента. Поэтому на условно выделенный нами объем действуют две силы: одна (со стороны внутреннего элемента) ускоряет движение, а другая (со стороны внешнего элемента объема) замедляет.

В стационарном режиме течения эти противоположные по направлению силы будут равны по величине и представляют собой произведение давления на элемент площади, т.е. Р(2prdr).

Сила трения задается уравнением (2.4.1).

Тогда

(2.4.2)

Знак «минус» в правой части уравнения объясняется тем, что по внешней поверхности элемента жидкости движение будет затормаживаться, а «плюс» – тем, что по внутренней его поверхности движение ускоряется.

Разлагая в ряд Тэйлора правую часть уравнения (2.4.2) и учитывая, что dU/dx (при х=r+dr) равно dU/dx (при x=r) плюс (d²U/dr²)dr, и деля каждую часть уравнения (2.4.2) на 2p dr, получаем

, (2.4.3)

гдеdU/dr– градиент скорости на расстоянии r от центра капилляра.

Первое интегрирование дает

, (2.4.4)

где А₁ – постоянная интегрирования.

Второе интегрирование приводит к уравнению зависимости линейной скорости течения слоя жидкости от расстояния до центра капилляра

, (2.4.5)

где А₂ – постоянная второго интегрирования.

Постоянная А₁ =0, что следует из уравнения (2.4.4) при условии, что r=0. Физический смысл постоянной А₂вытекает из уравнения (2.4.5) при условии, что при r=R U=0.

Тогда

А₂= РR²/(4lh) , (2.4.6)

поэтому

U = P(R² – r²)/(4lh). (2.4.7)

Это уравнение дает параболическое распределение скоростей течения жидкости в зависимости от расстояния до центра капилляра.

Более удобной для практического использования является объемная скорость течения, т.е. объем жидкости, протекающей через капилляр с радиусом поперечного течения r за одну секунду. Объем протекающей жидкости будет разным для каждого из элементов объема капилляра, зависит от линейной скорости U и будет равен произведению U на площадь поперечного сечения элемента объема:

V_i=U_i2hrldr . (2.4.8)

Общий объем жидкости, протекающей за одну секунду получают интегрированием по всем элементам объема:

. (2.4.9)

Уравнение (2.4.9) известно как уравнение Пуазейля. Его часто записывают в форме

, (2.4.10)

где V – объем жидкости, вытекающей через капилляр длиной l и радиусом r за время t (с) под давлением Р.

Уравнение Пуазейля используют при определении вязкости с помощью капиллярных вискозиметров. Пример наиболее популярного капиллярного вискозиметра Оствальда-Пинкевича приведен на рис. 2.28. Здесь a и b– метки, ограничивающие объем А; bс– длина капилляра; В –сосуд.

Если жидкость вытекает под действием собственной тяжести, то в капиллярных вискозиметрах фиксируется начальный h₁ и конечный h₂ уровень жидкости за промежуток времени от 0 до t. В капиллярных вискозиметрах давление Р в процессе течения не остается постоянным, изменяясь от Р₀ = rgh₁ до Р_t = rgh₂, где r– плотность жидкости; g– ускорение свободного падения.

Общее время, необходимое для понижения уровня жидкости от h₁ до h₂ ,

. (2.4.11)

Интеграл в правой части уравнения (2.4.11) представляет собой постоянную вискозиметра, также как r и l. Объединяя все постоянные в одну, можем получить для каждого капиллярного вискозиметра

t = сonsth/r. (2.4.12)

Отношение h/r называют кинематической вязкостью. Постоянная вискозиметра определяется путем измерения времени истечения между метками на капилляре жидкости с известными значениями h и r.

Если скорость истечения жидкости из капилляра велика (т.е. мало время истечения), то необходимо учитывать поправку на разность кинетической энергии жидкости, входящей в капилляр и вытекающей из нее, так как часть давления DР=grDh приходится на ускорение жидкости.

Градиент скорости (или скорость) течения ньютоновских жидкостей линейно растет при повышении давления, приводящего жидкость в движение, до того критического значения Р_кр, когда режим течения из ламинарного переходит в турбулентное.

Вязкость этих жидкостей не зависит от давления вплоть до той же величины Р_кр. При турбулентном режиме течения h теряет свой смысл. Схема зависимости вязкости и градиента скорости от давления показана на рис. 2.29.